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Epidemiologia de Doenças de Plantas: Aspectos Temporais
Modelos Matemáticos
     
     
   

Se, como dissemos, o nosso objectivo no manejo (luta, pt) de doenças das plantas é o de manter o desenvolvimento de doenças abaixo de um nível aceitável, o qual requer um estudo quantitativo do progresso destas doenças, então é necessário encontrar um modelo matemático para descrever as epidemias. Este modelo deverá mostrar como é que uma dada variável, preferivelmente uma que seja mensurável no mundo real, progride ao longo do tempo. Sob uma perpectiva de manejo (luta, pt), o registro de novas infecções seria desejável, no entanto a observação desses eventos microscópicos é uma impossibilidade práctica na maioria dos casos. O monitoramento de inóculo é uma alternativa muito útil no manejo de (na luta contra, pt) doenças e, para muitas doenças, existem técnicas para a quantificação de inóculo. Iremos começar a nossa apresentação, portanto, falando sobre o desenvolvimento temporal da quantidade de inóculo disponível para causar doença.

Produção monocíclica de inóculo

Em epidemias monocíclicas, o nosso interesse principal está no inóculo presente no início da estação (inóculo inicial). Se representarmos com Q1 a quantidade de inóculo no início da estação corrente, esta será igual à quantidade de inóculo no início da estação anterior, Q0, adicionada de um incremento que resulta do crescimento e desenvolvimento do patógeno durante a estação:

Q1 = Q0 + incremento

O incremento será uma função matemática da quantidade de inóculo inicial na estação anterior, e uma aproximação razoável é fazer o incremento proporcional a esta quantidade, isto é, KQ0, onde K é a constante de proporcionalidade:

Q1 = Q0 + KQ0

A constante K incorpora todos os fatores que afectam a sobrevivência e crescimento do fungo, a produção de propágulos, a dispersão de inóculo, e a mortalidade do fungo (no caso em que o patógeno é um fungo). O valor de K depende de muitos fatores, tais como as condições ambientais, o desenvolvimento da cultura, e as práticas culturais. Se ocorrer um aumento líquido na quantidade de inóculo de uma estação para outra, a constante K será positiva. Se, por outro lado, ocorrer uma perda líquida de inóculo, tal como poderá acontecer durante uma rotação com uma cultura não-hospedeira, K será negativa.

De modo a descrever a mudanças no inóculo inicial de uma estação para a outra numa epidemia policíclica, nós generalizamos o subscrito que indica a estação:

QT+1 = QT + KQT

Nós resolvemos a equação de uma forma iterativa, modificando o subscrito T, o qual indica tempo em cada estação sucessiva, e fazendo com que o valor corrente de QT+1 seja o valor de QT na estação subsequente. De modo a simplificar a equação, nós supomos que K é uma constante (uma média sobre muitas estações). A equação acima dá origem ao seguinte gráfico:

 

Note-se que, se a constante K for positiva, o incremento (a área cinzenta clara em cada barra) aumenta com o inóculo inicial em cada estação sucessiva, e a curva no gráfico tem inclinação para cima. 

Produção policíclica de inóculo

Numa epidemia policíclica podemos usar um modelo essencialmente idêntico ao modelo de um patógeno monocíclico repetido em varias estações, mas em vez de repetirmos o ciclo de uma estação para a outra, repetimos o ciclo dentro da mesma estação. O intervalo de tempo associado a cada ciclo é agora da ordem de dias ou semanas em vez de anos. Uma vez que o intervalo de tempo de um ciclo já não é necessariamente uma unidade de tempo (um ano), o incremento de tempo é dado por ΔT, e o incremento de inóculo durante ΔT é dado por: .

qT+ΔT = qT + qTk⋅ΔT

Como notação, iremos usar a letra minúscula q para representar a quantidade de inóculo durante a epidemia, e a letra minúscula k para representar a proporção de aumento no inóculo em cada incremento de tempo. As unidades de k correspondem às unidades de T. Por exemplo, se o tempo for medido em dias, as unidades de k serão proporção/dia.

A produção de inóculo tende a ocorrer irregularmente e discontinuamente, em períodos de infecção discretos e de diferente duração, dependendo das condições climáticas, de modo que o valor de k deverá ser diferente em cada período de infecção. No entanto, em linha com o nosso objectivo de desenvolver um modelo que seja o mais simples possível pare ser útil como instrumento de manejo (luta, pt), iremos simplificar o modelo acima usando intervalos de tempo uniformes e supondo que k é constante no tempo (em vez de k variar com a condições ambientais, nós usaremos a “média” do valor de k durante a epidemia). Iremos primeiro rearranjar a equação acima de modo a obter:

qT+ΔT - qT = qTk⋅ΔT

Uma vez que a variação na quantidade de inóculo durante um intervalo de tempo, Δq, é simplesmente a diferença entre a quantidade de inóculo no instante T e a quantidade de inóculo no instante T+ΔT, temos::

Δq = qTk⋅ΔT

Rearranjando, obtemos:

Δq/ΔT = qTk

Agora, em vez de progredir no tempo em intervalos discretos, progredimos no tempo continuamente, fazendo com que ΔT seja uma quantidade infinitesimamente pequena:

dq/dt =qk

Nessa equação diferencial, dq é uma variação infinitesimamente pequena na quantidade de inóculo, e dt é um incremento infinitesimal no tempo. Isso diz-nos que a taxa de variação da quantidade de inóculo num dado instante no tempo é proporcional à quantidade de inóculo no mesmo instante. Usando cálculo, a equação pode ser integrada para obter a solução:

q = q0ekt

 

Essa, como vemos, é a familiar função exponencial, onde q0 é o inóculo inicial, e e é a base natural (Napierian) dos logaritmos. A taxa instantânea de variação de q é dq/dt, a qual é a inclinação da tangente à curva da função num dado ponto.

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