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Estimando los Parámetros del Modelo
Algunos Ejemplos
Ejemplo 1, una epidemia monocíclica: La
marchitez del lino es ocasionada por el hongo Fusarium
oxysporum f. sp. lini. Las clamidosporas del
hongo persisten por varios años en el suelo y cuando el lino se
siembra en un campo infestado, las plantas jovenes se infectan
mediante las raíces.
Se hizo un monitoreo extensivo del suelo de
un campo severamente infestado y se encontró un promedio de 57
unidades que forman colonias (UFC) por gramo de suelo. Cuando
una variedad susceptible de lino se sembró en este campo, las
plantas mostrando los síntomas de marchitez aumentaron con el
tiempo como se indica a continuación:
Días Después % Plantas
de la Siembra Infectadas
10 18
20 56
30 82
40 91
50 96
60 98
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En un gráfico del progreso de la enfermedad, note como el porcentaje
de infección asintóticamente se acerca al 100%.
[Haga clic en el gráfico]
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Progreso de la enfermedad,
marchitez del lino
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Para estimar el producto QR primero tenemos
que convertir el porcentaje de infección a la proporción x
y luego usando la transformación apropiada para el
modelo monocíclico, calculamos ln(1/(1-x)).
t x ln(1/(1-x))
10 .18 0.198
20 .56 0.821
30 .82 1.71
40 .91 2.41
50 .96 3.22
60 .98 3.91
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De un gráfico de ln(1/(1-x)) versus t,
podemos ajustar una línea recta a los puntos de datos
usando regresión lineal.
[Haga clic en el gráfico]
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Marchitez del lino, transformación de choque multiple
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La inclinación de la línea estimada por la ecuación de regresión
es 0.076, que es el valor de QR. Por lo tanto,
R = 0.076/57 = 0.0013/UFC/Día.
Ejemplo 2, una epidemia policíclica: El
tizón del halo del frijol es ocasionado por la
bacteria Pseudomonas syringae pv. phaseolicola. La
fuente más importante de inóculo inicial es la semilla infectada,
que cuando se siembran da origen a plantas con lesiones sobre
las hojas primarias. Las bacterias producidas en estas lesiones
se dispersan por el salpique de agua a plantas saludables
adyacentes. Las nuevas lesiones pueden producir
inóculo secundario en alrededor de 4-5 días. En condiciones
moderadamente favorables para el desarrollo de la enfermedad, las
observaciones siguientes se hicieron del progreso de la enfermedad:
Días Después % Plantas
de la Siembra Infectadas
10 1
20 4
30 15
40 31
50 65
60 88
70 94
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El progreso de la enfermedad muestra la curva sigmoide
característica de una epidemia policíclica.
[Haga clic en el gráfico]
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Progreso del tizón del halo del frijol
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Igual que con la epifitia previa, tenemos que convertir los porcentajes
a proporciones (x), pero esta vez la
transformación que usamos es ln(x/(1-x)).
t x ln(x/(1-x))
10 .01 -4.60
20 .04 -3.18
30 .15 -1.73
40 .31 -0.80
50 .65 0.62
60 .88 1.99
70 .94 2.75
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Graficando ln(x/(1-x)) (a veces llamado
el logit de x) versus t,
podemos ajustar una línea recta a los datos usando la regresión
lineal.
[Haga clic en el gráfico]
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Tizón del halo del frijol,
transformación logístico
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Esto nos da una inclinación de 0.124/día, que es nuestra estimación
de la tasa aparente de infección r.
Obviamente a mayor cantidad de datos posibles,
particularmente si ellos se distribuyen uniformemente
en ambos lados del 50% infección, dan la mejor estimación
de la tasa aparente de infección. Sin embargo, es posible hacer
una estimación apróximada simplemente con dos puntos de datos.
Supongamos por un momento que
en vez de observaciones cada diez días durante la epidemia,
solamente hicimos dos observaciones, una temprana (el día 10) y
una tarde (el día 70). ¿Como podríamos estimar la tasa aparente
de infección? En este caso usaríamos sólo el punto primero y el
punto final en el juego de datos transformados arriba y
calculamos la inclinación como el alza sobre la corrida:
r = (ln(0.94/(1.0-0.94)) - ln(0.01/1.0-0.01))) / (70 - 10)
= (2.75 + 4.60) / 60
= 0.123/día
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